1. La Base: Limiti e Approssimazione Sequenziale
Passiamo dall'astrazione teorica dei limiti alla realtà computazionale secondo cui un processore non può avvicinarsi allo zero; può solo avvicinarsi a un epsilon macchina.
Una funzione $f$ definita su un insieme $X$ ha il limite $L$ in $x_0$, scritto $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, se, dato un qualsiasi numero reale $\varepsilon > 0$, esiste un $\delta > 0$ tale che $|f(x) - L| < \varepsilon$, ogni volta che $x \in X$ e $0 < |x - x_0| < \delta$.
Una successione $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ ha il limite $x$ se, per ogni $\epsilon > 0$, esiste un intero positivo $N(\epsilon)$ tale che $|x_n - x| < \epsilon$ ogni volta che $n > N(\epsilon)$. Questo giustifica i nostri algoritmi iterativi.
2. Continuità e Derivabilità: Requisiti di Sicurezza
Nel software numerico, Continuità (Definizione 1.2) e Derivabilità (Definizione 1.5) non sono semplicemente proprietà accademiche; sono requisiti di "sicurezza" per la stabilità numerica. Teorema 1.6 dimostra che se una funzione è derivabile in $x_0$, allora è continua in $x_0$, garantendo che piccoli errori di misura non causino salti catastrofici nell'output.